Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正
三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點。
        （I）求異面直線PA與DE所成的角；

        （II）求點D到面PAB的距離.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（1）解法一：連結AC，BD交于點O，連結EO.
∵四邊形ABCD為正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO為異面直線PA與DE所成的角……………………3分
∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.
在Rt△PAD中，PD=AD=a，則，


∴異面直線PA與DE的夾角為……………………6分
（2）取DC的中點M，AB的中點N，連PM、MN、PN.

∴D到面PAB的距離等于點M到
面PAB的距離.……7分
過M作MH⊥PN于H，
∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，
∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，
又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，
∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，
∴MH⊥面PAB，
則MH就是點D到面PAB的距離.……10分
在
………………12分

解法二：如圖取DC的中點O，連PO，
∵△PDC為正三角形，∴PO⊥DC.
又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.
如圖建立空間直角坐標系
則
.………………………………3分
（1）E為PC中點， ，
，

∴異面直線PA與DE所成的角為……………………6分
（2）可求，
設面PAB的一個法向量為，
  ①    . ②
由②得y=0，代入①得
令…………………………9分
則D到面PAB的距離d等于在n上射影的絕對值


即點D到面PAB的距離等于………………………………12分