Question

【題目】數列a1,a2……an是正整數1,2,……,n的任一排列，且同時滿足以下兩個條件：

①a1=1；②當n≥2時，|ai-ai+1|≤2(i=1,2，…,n-1).

記這樣的數列個數為f(n).

（I）寫出f(2),f(3),f(4)的值；

（II）證明f(2018)不能被4整除.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意，由f（n）的定義，計算即可得答案；
（Ⅱ）根據題意，把滿足條件①②的數列稱為n項的首項最小數列，對于n個數的首項最小數列，由于a1=1，故a2=2或3；分析可得遞推關系為f（n）=f（n-1）+f（n-3）+1，進而求出f（2），f（3），…，f（2018）各數被4除的余數，分析可得它們構成14為周期的數列，即可得結論．

試題解析：

（Ⅰ）解：(Ⅰ)根據題意,①a1=1;②當n2時, |ai-ai+1|≤2(i=1,2,…,n1)；

則f(2)=1,f(3)=2,f(4)=4.

（Ⅱ）證明：把滿足條件①②的數列稱為n項的首項最小數列.

對于n個數的首項最小數列，由于a1=1，故a2=2或3.

（1）若a2=2，則a2-1,a3-1,,an-1構成n-1項的首項最小數列，其個數為f(n-1)；

（2）若a2=3,a3=2，則必有a4=4，故a4-3,a5-3,……,an-3構成n-3項的首項最小數列，其個數為f(n-3)；

（3）若a2=3,則a3=4或a3=5.設ak+1是這數列中第一個出現的偶數，則前k項應該是1,3,,2k-1，ak+1是2k或2k-2，即ak與ak+1是相鄰整數.

由條件②，這數列在ak+1后的各項要么都小于它，要么都大于它，因為2在ak+1之后，故ak+1后的各項都小于它.

這種情況的數列只有一個，即先排遞增的奇數，后排遞減的偶數.

綜上，有遞推關系：f(n)=f(n-1)+f(n-3)+1，n≥5.

由此遞推關系和（I）可得，f(2),f(3),,f(2018)各數被4除的余數依次為：

1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…

它們構成14為周期的數列，又2018=14144+2，

所以f(2018)被4除的余數與f(2)被4除的余數相同，都是1，

故f(2018)不能被4整除.