Question

（滿分12分）已知函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1)增區(qū)間，減區(qū)間；(2)；(3).

解析試題分析：(1)將代入函數(shù)解析式，直接利用導數(shù)求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；(2)將條件“在區(qū)間上為減函數(shù)”等價轉化為“不等式在區(qū)間上恒成立”，結合參數(shù)分離法進行求解；(3)構造新函數(shù)，將“不等式在區(qū)間上恒成立”等價轉化為“”，利用導數(shù)結合函數(shù)單調性圍繞進行求解，從而求出實數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）當時，

解得；解得
故的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是
（2）由題知 對恒成立
即對恒成立

（3）因為當時，不等式恒成立
即恒成立，設
只需即可
由
①當時，
當時，，函數(shù)在上單調遞減故成立；
②當時，令，因為，所以解得
（i）當，即時，在區(qū)間上
則函數(shù)在上單調遞增，故在上無最大值，不合題設；
（ii）當時，即時，在區(qū)間上；在區(qū)間上．
函數(shù)在上單調遞減，在區(qū)間單調遞增，同樣在無最大值，不滿足條件；
③當時，由，故

故函數(shù)在上單調遞減，故