Question

己知下列三個方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：至少有一個方程有實根的對立面是三個方程都沒有根，由于正面解決此問題分類較多，而其對立面情況單一，故求解此類問題一般先假設沒有一個方程有實數根，然后由根的判別式解得三方程都沒有根的實數a的取值范圍，其補集即為個方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一個方程有實根成立的實數a的取值范圍．此種方法稱為反證法

解答：解：假設沒有一個方程有實數根，則：
16a²-4（3-4a）＜0（1）
（a-1）²-4a²＜0（2）
4a²+8a＜0（3）（5分）
解之得：-

3

2

＜a＜-1（10分）
故三個方程至少有一個方程有實根的a的取值范圍是：{a|a≥-1或a≤-

3

2

}．

點評：本題考查反證法，解題時要合理地運用反證法的思想靈活轉化問題，以達到簡化解題的目的，在求解如本題這類存在性問題時，若發現正面的求解分類較繁，而其對立面情況較少，不妨如本題采取求其反而成立時的參數的取值范圍，然后求此范圍的補集，即得所求范圍，本題中三個方程都是一元二次方程，故求解時注意根的判別式的運用．