Question

【題目】如圖，四棱錐，側面是邊長為的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形， 為的中點.

（1）求證： ；

（2）求點到平面 的距離.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）由題可得為等邊三角形,由為中點,可得,可證得平面,可得結論；（2）利用體積相等,可將點到面的距離轉化為體積相等問題.

試題解析：（1）證法一：取中點，連結，

依題意可知均為正三角形，

所以，又，

所以平面，又平面 ，

所以

證法二：連結，依題意可知均為正三角形，

又為的中點，所以，

又，

所以平面 ，

又平面，所以

（2）點到平面的距離即點到平面的距離，

由（1）可知，又平面平面，

平面平面？平面，

所以平面，即為三棱錐的體高在中， ，

在中， ，邊上的高，

所以的面積，設點到平面的距離為，

由得

，

又，

所以，解得，

所以點到平面的距離為