Question

（本題滿分14分）已知，函數，（其中為自然對數的底數）．
（Ⅰ）判斷函數在上的單調性；
（II）是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，
求出的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數滿足，求證：．

Answer 1

（1）①若，則，在上單調遞增；  ②若，當時，函數在區間上單調遞減；當時，函數在區間上單調遞增；③若，函數在區間上單調遞減.  
（2）故不存在；（3）見解析.

第一問中，利用導數的思想，先求解定義域，然后令導數大于零，小于零，得到函數的單調區間。但是要對參數a分情況討論得到
第二問中，假設存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直，利用曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．
進行分析求解
第三問中，要證，先變形然后利用第二問的結論證明。
解（1）∵，，∴． ……1分
①若，則，在上單調遞增；                  ……2分
②若，當時，，函數在區間上單調遞減，
當時，，函數在區間上單調遞增，            ……4分
③若，則，函數在區間上單調遞減.   ……………………5分
（2）解：∵，，
， ……6分
由（1）易知，當時，在上的最小值：，即時，．                     ………………………8分
又，∴．                     ……9分
曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．
而，即方程無實數解．故不存在.       ………………………10分
（3）證明：
，由（2）知，令得.……14分