Question

【題目】已知橢圓的離心率，左頂點(diǎn)到直線的距離，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：到直線的距離為定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）結(jié)合離心率，計(jì)算出a,b,c之間的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線距離，計(jì)算a,b值，即可。（2）分直線AB斜率存在與不存在討論，結(jié)合直線方程和橢圓方程,并利用,計(jì)算O到直線距離,即可.

（1）∵橢圓的離心率，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵橢圓的左頂點(diǎn)到直線，即到的距離，

∴，

把代入得：，解得：，

∴，，

∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)，

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由橢圓的性質(zhì)可得：，，

∵當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，

∴，即，也就是，

又∵點(diǎn)在橢圓上， ∴，

∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且平行于軸，

∴，∴，解得：

此時(shí)點(diǎn)到直線的距離

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立有，消去，得

∴，，

同理：，消去，得，

即，∴

∵為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，∴

∴

∴

∴

∴點(diǎn)到直線的距離

綜上所述，點(diǎn)到直線的距離為定值.