Question

【題目】已知函數.
（1）求函數的最小正周期；
（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移a（a>0）個單位長度后得到函數的圖象，且函數的最大值為2．
（ⅰ）求函數的解析式；
（ⅱ）證明：存在無窮多個互不相同的正整數，使得>0.

Answer 1

【答案】
（1）

（2）

（ⅰ）=；（ⅱ）詳見解析．

【解析】（1）因為==,所以函數的最小正周期T=.
（2）（i）將函數的圖象向右平移個單位長度，再向下平移a（a>0）個單位長度后得到函數=的圖象。又已知函數的最大值為2，所以10+5-a=2，解得a=13. 所以=
（ii）要證明存在無窮多個互不相同的正整數，使得>0，就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數，使得>0，即sin>. 由<知，存在0<<,使得sin=。 由正弦函數性質可知，當x時，均有sin>。因為y=sinx的周期為，所以當x(KZ)時，均有sinx>. 因為對任意的整數K，=>>1,所以對于任意正整數k， ,使得,亦即存在無窮多個互不相同的正整數，使得>0.