Question

(本小題滿分16分)
按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.
現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為
(1)求和關于、的表達式；當時，求證：=；
(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。

Answer 1

（2）即時，甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為.
(3) 不存在滿足條件的、的值

本小題主要考查函數的概念、基本不等式等基礎知識，考查數學建模能力、抽象概括能力以及數學閱讀能力。滿分16分。
(1)
當時，,
,    =
（2）當時，

由，
故當即時，
甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。
（3）（方法一）由（2）知：=
由得：，
令則，即：。
同理，由得：
另一方面，
當且僅當，即=時，取等號。
所以不能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立。