Question

已知函數是偶函數.

（1）求的值；

（2）設，若函數與的圖象有且只有一個公共點，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

（1）－；（2）｛aa＞1或a=-3｝

【解析】

試題分析：（1）根據偶函數可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；

（2）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，則方程f（x）=g（x）有且只有一個實根，化簡可得2x+＝a•2x?a有且只有一個實根，令t=2x＞0，則轉化成方程(a?1)t2?at?1＝0有且只有一個正根，討論a=1，以及△=0與一個正根和一個負根，三種情形，即可求出實數a的取值范圍．

試題解析：(1)∵函數　f(x)＝ (＋1)＋kx(k∈R)是偶函數

∴　f(－x)＝ (＋1)－kx＝ －kx＝ (4x＋1)－(k＋1)x＝ (4x＋1)＋kx恒成立

∴－(k＋1)＝k，則k＝－ 4分

(2)g(x)＝ (a·－a)，

函數　f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，即方程　f(x)＝g(x)只有一個解

由已知得 (4x＋1)－x＝ (a·－a)

∴＝ (a·－a)，∴且= 8分

設。

設h（t）=（a-1）t2-at-1，若a-1＞0，∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解，a＞1滿足題意。

若a-1=0，a=1，不滿足題意。

若a-1＜0，即a＜1時，=0的a=-3或a=，

當a=-3時t=滿足題意。

當a=時，t=-2（舍去） 11分

綜上：a的取值范圍是｛aa＞1或a=-3｝ 12分

考點：對數函數圖像與性質的綜合應用.