Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）若曲線在點處的切線與曲線切于點，求的值；

（Ⅲ）若恒成立，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）先明確函數定義域，再求函數導數，根據導函數符號確定單調區間，（2）由導數幾何意義得切線斜率為，則得， .即得（3）不等式恒成立問題，一般轉化為對應函數最值問題：先利用導數研究函數最值： 當時， 在上單調遞增. 僅當時滿足條件，此時；當時， 先減后增， ，再變量分離轉化為，最后利用導數研究函數

最值，可得的最大值．

試題解析：解：（Ⅰ） ，則.

令得，所以在上單調遞增.

令得，所以在上單調遞減.

（Ⅱ）因為，所以，所以的方程為.

依題意， ， .

于是與拋物線切于點，

由得.

所以

（Ⅲ）設,則恒成立.

易得

（1）當時，

因為，所以此時在上單調遞增.

①若，則當時滿足條件，此時；

②若，取且

此時，所以不恒成立．

不滿足條件；

（2）當時，

令，得由，得；

由，得

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

要使得“恒成立”，必須有

“當時， ”成立.

所以.則

令則

令，得由，得；

由，得所以在上單調遞增，在上單調遞減,

所以，當時，

從而，當時， 的最大值為.

綜上， 的最大值為.