Question

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)變換到這一平面上的一點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個(gè)焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2） 若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn). 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)的存在情況和個(gè)數(shù).

Answer 1

略

解析:

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①.

又由條件得…②，故由①、②可解得，.

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

且橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和.

對于變換：，當(dāng)時(shí)，可得

設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為；

又即的坐標(biāo)為.

（2）設(shè)是橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，

有，由點(diǎn)，即，得：

，因而橢圓的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為和.

（3）由（2）可知，曲線在變換下的不動(dòng)點(diǎn)需滿足.

情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為（），

則有.

因?yàn)?img width=79 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/147/268947.gif" >，所以恒成立，因此橢圓在變換下的不動(dòng)點(diǎn)必定存在，且一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

情形二：設(shè)雙曲線方程為（），

則有,

因?yàn)?img width=48 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/153/268953.gif" >，故當(dāng)時(shí)，方程無解；[來源:學(xué)。科。網(wǎng)Z。X。X。K]

當(dāng)時(shí)，故要使不動(dòng)點(diǎn)存在，則需，

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).

進(jìn)一步分類可知，

(i) 當(dāng)，時(shí)，.

即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，需滿足時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).

(ii) 當(dāng)，時(shí)，.

即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，需滿足時(shí)，雙曲線在變換下一定有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn).否則不存在不動(dòng)點(diǎn).