Question

（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;

（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點M,求與面積之和的最小值．

 

Answer 1

【答案】

 

解: （Ⅰ）設拋物線方程為,由題意得:

,, 所以拋物線C的方程為…4分

 

（Ⅱ） 解法一:拋物線焦點與的圓心重合即為E（0,1）,

設過拋物線焦點的直線方程為,,

,,得到,…2分

由拋物線的定義可知,,

．即為定值1…．3分

（Ⅲ）,所以,

所以切線AM的方程為,切線BM的方程為,

解得即……2分

所以點M到直線AB的距離為．

設

…．2分

令,所以,,

所以在上是增函數,當,即時,,即與面積之和的最小值為2…3分

（Ⅱ）解法二:設過拋物線焦點的直線方程為,,不妨設．

,,得到,．2分

,,

,即為定值…．3分

（Ⅲ）,所以,所以切線AM的方程為,

切線BM的方程為,解得即………．3分

所以點M到直線AB的距離為．

設

…3分

令,所以,,

所以在上是增函數,當,即時,,即與面積之和的最小值為2

 

【解析】略