Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=4sin（2x-

π

3

）（x∈R），有下列命題：
（1）y=f（x+

4π

3

）為偶函數(shù)；
（2）要得到函數(shù)g（x）=-4sin2x的圖象，只需將f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位；
（3）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

12

對(duì)稱；
（4）y=f（x）在[0，2π]內(nèi)的增區(qū)間為[0，

5π

12

]和[

11π

12

，2π]；
（5）y=f（x）的周期為π．其中正確命題的序號(hào)是

（2）（3）（4）（5）

．

Answer 1

分析：求出f（x+

4π

3

）解析式，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性可得y=f（x+

4π

3

）為非奇非偶函數(shù)，故（1）不正確；因?yàn)間（x）=f（x-

π

3

），結(jié)合函數(shù)圖象平移的規(guī)律可得（2）正確；當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，f（-

π

12

）=-4恰好是函數(shù)的最小值，所以y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

12

對(duì)稱，故（3）正確；利用正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，可得y=f（x）在[0，2π]內(nèi)的增區(qū)間為[0，

5π

12

]和[

11π

12

，2π]，故（4）正確；利用三角函數(shù)的周期公式可得（5）正確．

解答：解：對(duì)于（1），∵f（x+

4π

3

）=4sin[2（x+

4π

3

）-

π

3

]=4sin（2x+

π

3

）
∴y=f（x+

4π

3

）為非奇非偶函數(shù)，故（1）不正確；
對(duì)于（2），∵f（x）=4sin（2x-

π

3

），滿足g（x）=f（x-

π

3

）=4sin[2（x-

π

3

）-

π

3

]=-4sin2x
∴將f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=-4sin2x的圖象，故（2）正確；
對(duì)于（3），當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，f（-

π

12

）=4sin[2（-

π

12

）-

π

3

]=4sin（-

π

2

）=-4，恰好是函數(shù)的最小值，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

12

對(duì)稱，故（3）正確；
對(duì)于（4），令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈z．
取k=0和1，與區(qū)間[0，2π]取交集，得y=f（x）在[0，2π]內(nèi)的增區(qū)間為[0，

5π

12

]和[

11π

12

，2π]，故（4）正確；
對(duì)于（5），y=f（x）的周期為

2π

2

=π，故（5）正確．
故答案為：（2）（3）（4）（5）

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性的奇偶性，屬于中檔題．