Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，過點P的割線交圓于B、C兩點，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F為CE上一點，且DE²=EF•EC．
（1）求證：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長．

Answer 1

（I）證明：∵DE²=EF•EC，∠DEF公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴

EA

EF

=

EP

ED

，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP；
（II）∵DE²=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴3²=2EC，∴CE=

9

2

．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴

9

2

×3=2EP，解得EP=

27

4

，
∴BP=EP-EB=

27

4

-3=

15

4

．
∵PA是⊙O的切線，∴PA²=PB•PC，
∴PA2=

15

4

×(

27

4

+

9

2

)，解得PA=

15 3

4

．