Question

（選修4-4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（t為參數(shù)，0≤α＜π）．
（Ⅰ）化曲線C的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將原極坐標(biāo)方程ρcos²θ=4sinθ兩邊同時乘以ρ，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程

x=tcosα y=1+tsinα

化為直角坐標(biāo)方程，再代入曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：y²=4x得：x²-6x+1=0，利用直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0），即可得到直線l被曲線C截得的線段AB的長．

解答：解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ得，ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．              
（Ⅱ）由直線l經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（0，1），所以其方程為x+y=1．
故直線l的直角坐標(biāo)方程是x+y-1=0，
聯(lián)立

x+y-1=0 y2=4x

，消去y，得x²-6x+1=0，
則x_A+x_B=6
又點(diǎn)（1，0）是拋物線的焦點(diǎn)，
由拋物線定義，得弦長|AB|=x_A+x_B+2=6+2=8．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識解決最值問題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．