Question

選修4-4：極坐標與參數方程
極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)，曲線C₂的極坐標方程為ρsinθ=a（a＞0），射線θ=φ，θ=φ+

π

4

，θ=φ-

π

4

，θ=

π

2

+φ與曲線C₁分別交異于極點O的四點A，B，C，D．
（Ⅰ）若曲線C₁關于曲線C₂對稱，求a的值，并把曲線C₁和C₂化成直角坐標方程；
（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把C₁、把C₂的方程化為直角坐標方程，根據因為曲線C₁關于曲線C₂對稱，可得直線y=a經過圓心（1，1），求得a=1，故C₂的直角坐標方程．
（Ⅱ）由題意可得，|OA|=2

2

sin(φ+

π

4

)； |OB|=2

2

sin(φ+

π

2

)=2

2

cosφ； |OC|=2

2

sinφ；|OD|=2

2

sin(φ+

3π

4

)=2

2

cos（

π

4

+φ），再根據|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+

π

4

）sinφ+8cos（

π

4

+φ）cosφ=8cos

π

4

，計算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）C₁：即 ρ²=2

2

ρ（

2

2

sinθ+

2

2

cosθ）=2ρsinθ+2ρcosθ，
化為直角坐標方程為 （x-1）²+（y-1）²=2．
把C₂的方程化為直角坐標方程為 y=a，因為曲線C₁關于曲線C₂對稱，故直線y=a經過圓心（1，1），
解得a=1，故C₂的直角坐標方程為 y=1．
（Ⅱ）由題意可得，|OA|=2

2

sin(φ+

π

4

)； |OB|=2

2

sin(φ+

π

2

)=2

2

cosφ； |OC|=2

2

sinφ；|OD|=2

2

sin(φ+

3π

4

)=2

2

cos（

π

4

+φ），
∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（φ+

π

4

）sinφ+8cos（

π

4

+φ）cosφ=8cos[（

π

4

+φ）-φ]=8×

2

2

=4

2

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，兩角和差的余弦公式，屬于基礎題．