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已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實數根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函數大致圖象，并直接寫出函數f（x）的單調區間．

分析：（1）由f（2）=0可得a，b之間的關系，然后由f（x）=x有兩個相等的實數根可得△=0，從而可求a，b，進而可求函數解析式．
（2）確定二次函數的基本特征，作出函數的圖象，結合函數的圖象可寫出函數的單調區間

解答：解：（1）∵f（2）=0
∴4a+2b=0即b=-2a
∵f（x）=x有兩個相等的實數根．
即x²+（b-1）x=0有兩個相等的實數根．
∴△=（b-1）²=0
∴b=1，a=-

，f（x）=-

x²+x
（2）其圖象如圖所示
由函數的圖象可知，函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，1），單調遞減區間為（1，+∞）

點評：本題主要考查了二次函數的性質的應用，函數與方程的思想的相互轉化及函數的圖象的作法

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x²+2（m-2）x+m-m²．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函數在區間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若記區間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x²+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=

f(x)

x-1

．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]ⁿ-g（xⁿ+1）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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