Question

（2012•上饒一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=a，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（Ⅰ）證明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

分析：（I）連接AC，AC交BD于O．連接EO．根據正方形的性質，得EO是△PAC的中位線，得PA∥EO，從而得到PA∥平面EDB；
（II）過F點作FG⊥PC于G，可得FG⊥平面PDE，FG是點F到平面PDE的距離．等腰Rt△PDC中，算出PE長和△PED的面積，再利用三角形相似算出PF和FG的長，最后用錐體體積公式，可算出三棱錐P-DEF的體積．

解答：解：（I）連接AC，AC交BD于O．連接EO．
∵底面ABCD是正方形，點O是AC的中點，
∴在△PAC中，EO是中位線，得PA∥EO．
又∵EO?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB．…（6分）
（II）∵PD=DC=a．PD⊥平面ABCD，E為PC的中點，
∴Rt△PDC中，PC=

PD2+DC2

=

2

a，中線PE=

2

2

a
Rt△PBD中，PB=

PD2+BD2

=

3

a，且S△PDE=

a2

4

．
∵PD⊥平面ABCD，BC⊆平面ABCD，∴PD⊥BC
又∵BC⊥CD，PD、CD是平面PCD內的相交直線，
∴BC⊥平面PCD，
∴結合PC⊆平面PCD，得BC⊥PC，
又∵EF⊥PB，∴△PFE∽△PCB，
∴

PF

PE

=

PC

PB

，可得PF=

PE•PC

PB

=

2 2 a• 2 a

3 a

=

3

3

a．
過F點作FG⊥PC于G，
∵△PBC中，FG、BC都與直線PC垂直，∴FG∥BC，
∴FG⊥平面PCD，即FG⊥平面PDE，得FG是點F到平面PDE的距離，
∵△PFG∽△PBC，得

FG

BC

=

PF

PB

，∴FG=

BC•PF

PB

=

a• 3 3 a

3 a

=

a

3

．
∴三棱錐P-DEF的體積為VP-DEF=VF-PDE=

1

3

•

a2

4

•

a

3

=

a3

36

．…（12分）

點評：本題給出特殊四棱錐，求證線面平行并求錐體體積，考查了線面平行、線面垂直的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．