Question

【題目】已知函數，其中，.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的單調遞增區間為；當時，的單調遞增區間為，單調減區間為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的定義域，再求導，根據導數和函數的單調性的關系即可求出，

（Ⅱ）不等式恒成立轉化為，則問題轉化為恒成立時，求的取值范圍，根據導數和函數的單調性的關系即可求出．

（Ⅰ）函數的定義域為，.

當時，，函數在區間上是增函數；

當時，由，得；由，得，

所以函數在區間上是增函數，在區間上是減函數.

綜上：當時，的單調遞增區間為，當時，的單調遞增區間為，單調減區間為.

（Ⅱ）不等式.

當時，取，，不合題意；

當時，令，則問題轉化為恒成立時，求的取值范圍.

由于.令，得，

當時，，當時，，

所以，函數的最大值為

，

于是由題意知，解得，

故實數的取值范圍是.