Question

【題目】已知

（1）求的軌跡

（2）過(guò)軌跡上任意一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)直線的斜率分別是，試問(wèn)在三個(gè)斜率都存在且不為0的條件下， 是否是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

(1)利用幾何性質(zhì)取得該軌跡方程為橢圓，求得 即可得出該軌跡方程；也可以利用平面向量的結(jié)論結(jié)合坐標(biāo)求解軌跡方程；

(2)利用題意聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理證得是定值即可.

試題解析：

（1）方法一：

如圖因?yàn)?/span>所以四邊形是平行四邊形

所以，

由得

所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓易知

所以方程為

方法二：

設(shè)由得

再得

移項(xiàng)

平方化簡(jiǎn)得：

（從發(fā)現(xiàn)是橢圓方程也可以直接得 ，分檔批閱老師自己把握）

（2）設(shè)，過(guò)的斜率為的直線為，由直線與圓相切可得

即：

由已知可知是方程（關(guān)于）的兩個(gè)根，

所以由韋達(dá)定理：

兩式相除：

又因?yàn)?/span>所以

代入上式可得： 即： 為一個(gè)定值.