Question

【題目】如圖，某市在海島A上建了一水產養殖中心．在海岸線l上有相距70公里的B、C兩個小鎮，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B鎮在養殖中心工作的員工有3百人，C鎮在養殖中心工作的員工有5百人．現欲在BC之間建一個碼頭D，運送來自兩鎮的員工到養殖中心工作，又知水路運輸與陸路運輸每百人每公里運輸成本之比為1：2．

（1）求sin∠ABC的大小；
（2）設∠ADB=θ，試確定θ的大小，使得運輸總成本最少．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，cos∠ABC= =﹣

所以sin∠ABC=

（2）解：在△ABD中，由 得：

AD= ，BD= ﹣

設水路運輸的每百人每公里的費用為k元，陸路運輸的每百人每公里的費用為2k元，

則運輸總費用y=（5CD+3BD）×2k+8k×AD=20k（35+ + ﹣ ）

令H（θ= ，則H′（θ）= ．

當0＜θ＜ 時，H′（θ）＜0，H（θ）單調減；當 ＜θ＜ 時，H′（θ）＞0，H（θ）單調增

∴θ= 時，H（θ）取最小值，同時y也取得最小值．

此時BD= ，滿足0＜ ＜70，所以點D落在BC之間

所以θ= 時，運輸總成本最小．

答：θ= 時，運輸總成本最小

【解析】（1）利用余弦定理，即可求sin∠ABC的大小；（2）確定函數解析式，利用導數方法求最值．