Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AD=DC= ，AB=PA=2 ，且E為線段PB上的一動點．
（1）若E為線段PB的中點，求證：CE∥平面PAD；
（2）當直線CE與平面PAC所成角小于 ，求PE長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PA的中點F，連結EF，DF，

則EF∥AB，EF= AB，

又DC∥AB，DC= AB，

∴EF∥CD，EF=DC，

∴四邊形EFDC是平行四邊形，

∴CE∥DF，又CE平面PAD，DF平面PAD，

∴CE∥平面PAD

（2）解：∵AD=CD= ，AD⊥CD，∴AC=2，

又AB=2 ，∠BAC=45°，∴BC=2，

∴AC⊥BC，

又PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

過E作EM∥BC，則EM⊥平面PAC，

∴∠PCE為CE與平面PAC所成的角，即∠PCE＜ ．

∵PA=2 ，AC=2，∴PC=2 ，BC=2，PB=4，

∴∠BPC= ，

∴當∠PCE= 時，CE⊥PB，此時PE=3，

∴當∠PCE 時，PE＜3．

【解析】（1）取PA的中點F，連結EF，DF，證明四邊形EFDC是平行四邊形得出CE∥DF，故而CE∥平面PAD；（2）證明BC⊥平面PAC，可知∠PCE為CE與平面PAC所成的角，利用余弦定理得出∠BPC，利用勾股定理得出PE的最大值即可得出PE的范圍．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．