Question

【題目】食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的建康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社會每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發現種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a（單位：萬元）滿足P=80+4 ，Q= a+120，設甲大棚的投入為x（單位：萬元），每年兩個大棚的總收益為f（x）（單位：萬元）．
（1）求f（50）的值；
（2）試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f（x）最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵甲大棚投入50萬元，則乙大投棚入150萬元，

∴ 萬元

（2）解： ，依題意得 ，

故 ．

令 ，則 ，

當 ，即x=128時，f（x）max=282萬元．

所以投入甲大棚128萬元，乙大棚72萬元時，總收益最大，且最大收益為282萬元．

【解析】（1）由甲大棚投入50萬元，則乙大投棚入150萬元，把a的值代入即可得出．（2） ，依題意得 ，通過換元利用二次函數的單調性即可得出．