Question

求下列函數的定義域與值域
（1）；
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由分母不為0，得自變量x的取值即為函數的定義域，再把函數f（x）的解析式化簡，得到，求函數y的值域，可以先用y表示x，這樣含y的解析式中y的取值范圍即是所求函數y的值域．
（2）先由被開方數為非負數建立不等關系即可求出函數的定義域，利用 換元法：設logx=t，則y=，再結合二次函數的性質求出函數的值域．
解答：解：（1）由題意，函數式中分母不為0，且被開方數非負數，
∴，
∴x＞0且x≠1；
所以函數f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞）．
由題函數可變為，
∴y（x-1）=x+1，
∴x（y-1）=y+1，
∴，
∴由于x＞0且x≠1，
，解得-1＜y＜1；所以函數的值域為：（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）由-（logx）²+logx+2≥0得-1≤logx≤2，
∴≤x≤4，
所以函數的定義域為[，4]，
設logx=t，則y==，
其中-1≤t≤2，
∴當t=時，y取得最大值；當t=-1或2時，y取得最小值0；
所以函數的值域為：[0，]．
點評：本題考查了指數函數，對數函數的定義域和值域的問題．對于不容易求值域的函數，通常先用y表示x，則含y的解析式中y的取值范圍即是所求函數y的值域（反函數法）．