Question

如圖，P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，xy≠0)上的動點，F₁、F₂是雙曲線的焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上一點，且

F2M

•

MP

=0．某同學用以下方法研究|OM|：延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，且M為F₂M的中點，得|OM|=

1

2

|NF1|=…=a．類似地：P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，xy≠0)上的動點，F₁、F₂是橢圓的焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上一點，且

F2M

•

MP

=0．則|OM|的取值范圍是 ______．

Answer 1

延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，
且M為F₂M的中點，
則|OM|=

1

2

|NF1|=a-|F₂M|
∵a-c＜|F₂M|＜a
故0＜|OM|＜c=

a2-b2

故|OM|的取值范圍是(0，

a2-b2

)
故答案為：(0，

a2-b2

)