Question

【題目】已知函數（其中e是自然對數的底數，a，）在點處的切線方程是.

（1）求函數的單調區間.

（2）設函數，若在上恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）.

【解析】

（1）求出.由題意求出，，即可求出，，代入，即可求出的單調區間；

（2）由（1）知.解法1：要使在上恒成立，只需即可，利用導數求；解法2：要使在上恒成立，等價于在上恒成立.令，則只需即可，利用導數求；解法3：要使在上恒成立，等價于在上恒成立. 先證明，可得當時，有，可得，即求實數m的取值范圍.

（1）對函數求導得，

由條件可知，，解得，，

所以.

.令得，

于是，當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增.

故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）由（1）知.

解法1：要使在上恒成立，只需即可.

因為，，

所以在上單調遞增.

因為當時，，當時，，

所以，在上存在唯一的零點，滿足，

所以，

且在上單調遞減，在上單調遞增，

于是

由得，此時必有，，

兩邊同時取自然對數，則有，即.

構造函數（），則，

所以函數在上單調遞增，又，所以，即.

故，于是實數m的取值范圍是.

解法2：要使在上恒成立，等價于在上恒成立.

令（），則只需即可.

，令（），則，

所以在上單調遞增，又，，

所以有唯一的零點，且，在上單調遞減，在上單調遞增.

因為，兩邊同時取自然對數，則有，

即.

構造函數（），則，

所以函數在上單調遞增，又，

所以，即.

所以.

于是實數m的取值范圍是

解法3：要使在上恒成立，

等價于在上恒成立.

先證明，令（），則，于是，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，故（當且僅當時取等號）

所以，當時，有，所以，即，當且僅當時取等號，于是實數m的取值范圍是.