Question

（2013•房山區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-alnx-

1

2

(a∈R，a≠0)．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=2時，寫出f（x）的表達式，對f（x）進行求導(dǎo)，求出x=1處的斜率，再根據(jù)點斜式求出切線的方程；
（II）求出函數(shù)的定義域，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；
（III）由題意可知，對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0．下面對a進行分類討論，從而求出a的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）a=2時，f(x)=

1

2

x2-2lnx-

1

2

，f(1)=0…（1分）
f′(x)=x-

2

x

，f′(1)=-1…（2分）
曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程x+y-1=0…（3分）
（Ⅱ）f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

(x＞0)…（4分）
①當(dāng)a＜0時，f′(x)=

x2-a

x

＞0恒成立，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）
…（6分）
②當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，解得x=

a

或x=-

a

x	（ 0， a ）	a	（ ( a ，+∞)
f′（x）	-		+
f（x）	減		增

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為(

a

，+∞)，遞減區(qū)間為(0，

a

)
…（8分）
（Ⅲ）對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需任意的x∈[1，+∞），f（x）_min≥0
①當(dāng)a＜0時，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以只需f（1）≥0
而f(1)=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以a＜0滿足題意； …（9分）
②當(dāng)0＜a≤1時，0＜

a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
所以只需f（1）≥0
而f(1)=

1

2

-aln1-

1

2

=0
所以0＜a≤1滿足題意；…（10分）
③當(dāng)a＞1時，

a

＞1，f（x）在[1，

a

]上是減函數(shù)，[

a

，+∞)上是增函數(shù)，
所以只需f(

a

)≥0即可
而f(

a

)＜f(1)=0
從而a＞1不滿足題意； …（12分）
綜合①②③實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）

點評：考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性．恒成立的問題，一般都要求函數(shù)的最值，此題是一道中檔題．