Question

設函數y=f（x）在（-∞，+∞）內有定義，對于給定的正數K，定義函數f_K（x）=

f(x)，f(x)≤k k，f(x)＞k

，取函數f（x）=2-x-e^-x，若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），則K的最小值為

1

．

Answer 1

分析：利用導數研究函數f（x）的單調性極值與最值，和函數f_K（x）的定義即可得出．

解答：解：f′（x）=-1+e^-x=

1-ex

ex

，
當x＞0時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x＜0時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．
因此當x=0時，函數f（x）取得最大值f（0）=1．
∵對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x）≤1，
又對任意的x∈（-∞，+∞），恒有f_K（x）=f（x），
∴故k的最小值為1．
故答案為1．

點評：本題考查了導數研究函數f（x）的單調性極值與最值和新定義，屬于難題．