Question

【題目】在四棱錐中，平面平面， 底面為梯形, ，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）若是棱的中點，求證：對于棱上任意一點，與都不平行

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；(Ⅱ)見證明；（Ⅲ）見證明

【解析】

（Ⅰ）利用線面平行判定定理即可證明AB∥平面PCD．

（Ⅱ）法一：利用面面垂直的性質即可證明AD⊥平面PCD．法二：在平面PCD中過點D作DH⊥CD，交PC于H，利用面面垂直的性質可證DH⊥平面ABCD，進而利用線面垂直的性質可證DH⊥AD，再根據線面垂直的判定定理即可證明AD⊥平面PCD．

（Ⅲ）法一：假設存在棱BC上點F，使得MF∥PC，連接AC，取其中點N，有MN∥PC，即可證明MF與MN重合，即MF就是MC，由MC與PC相交，矛盾，即可問題得證．法二：假設存在棱BC上點F，使得MF∥PC，顯然F與點C不同，可得P，M，F，C四點在同一個平面α中，即B∈FCα，A∈PMα，α就是點A，B，C確定的平面ABCD，且P∈α，這與P﹣ABCD為四棱錐矛盾，即可得解假設錯誤，問題得證．

（Ⅰ）因為

平面

平面

所以平面

（Ⅱ）法一：

因為平面平面

平面平面

,平面

所以平面

法二：

在平面中過點作，交于

因為平面平面

平面平面

平面

所以平面

因為平面

所以

又，

所以平面

（Ⅲ）法一：

假設存在棱上點，使得

連接，取其中點

在中，因為分別為的中點，所以

因為過直線外一點只有一條直線和已知直線平行，所以與重合

所以點在線段上，所以是，的交點

即就是

而與相交，矛盾，所以假設錯誤，問題得證

法二：

假設存在棱上點，使得，顯然與點不同

所以四點在同一個平面中

所以 ，

所以 ，

所以就是點確定的平面 ，且

這與為四棱錐矛盾，所以假設錯誤，問題得證