Question

直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求證：平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
(2)在A₁B₁上是否存在一點P，使得DP與平面ACB₁平行？證明你的結論．

Answer 1

(1)由BB₁⊥平面ABCD，得到BB₁⊥AC.
又∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，
得到∠CAB＝45°，BC＝， BC⊥AC.
平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C.
(2)存在點P，P為A₁B₁的中點．

試題分析：(1)證明：直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AC.
又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2，
∴AC＝，∠CAB＝45°，∴BC＝，∴BC⊥AC.
又BB₁∩BC＝B，BB₁?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，
∴AC⊥平面BB₁C₁C.
又∵AC?平面ACB₁，∴平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C.（6分）
(2)存在點P，P為A₁B₁的中點．
要使DP與平面ACB₁平行，只要DP∥B₁C即可因為A₁B₁∥DC，所以四邊形DCB₁P為平行四邊形，所以B₁P＝DC＝A₁B₁＝1，所以P為A₁B₁的中點．即當P為A₁B₁的中點時，DP與平面BCB₁和平面ACB₁都平行．（12分）
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，若利用向量則可簡化證明過程。（2）是一道探索性問題，注意探尋“特殊點”。