Question

【題目】一個有限整數數列稱為一個“好數列”，是指對每個均使得等式成立.證明：對任何兩個整數，都存在一個自然數和一個“好數列”，滿足.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

由題設有.

故.

設， 只須證：

對任何整數， 存在自然數，可以在形如中的“（ ）”內適當填上“+”或“-”，使其等于.

由于對任意自然數，有，

.

故對于中任意連續4項，可適當填上“+”或“-”，使其等于4或- 4.

下面分 4 種情形討論.

（1）時， 取，顯然滿足要求.（另，因限制，則可取，使前4項和為4，后4項和為-4.）

（2）時，取，在填“+”，而使后面的項和為，此時，項和為.

（3）時，取，使前4項和為，后面項和為，此時，項和為.

（4）時，取，在前填“－”，而使后面的項和為，此時，項和為.

綜上所述，所證命題成立.