Question

對于函數f（x）=x³+ax²-x+1，有下列說法：
①該函數必有兩個極值點；
②該函數的極大值必大于1；
③該函數的極小值必小于1；
④該函數必有三個不同的零點
其中正確結論的序號為

 

．（寫出所有正確結論序號）

Answer 1

分析：先求導數，通過討論參數a的不同取值討論極值的大小．①導數的判別式很大于0，說明有兩個極值．②因為f（0）=1，兩個極值點一個大于零，一個小于0，所以函數的極小值必小于1，極大值必大于1，所以可判斷②③．④因為極小值的大小不確定，所以無法判斷函數的零點個數．

解答：解：①函數的導數為f'（x）=3x²+2ax-1．對應的判別式△=4a²+12＞0，
說明導數方程f'（x）=0有兩個不同的根，即函數必有兩個極值點．所以①正確．
②因為方程f'（x）=0的兩根之和為-

1

3

＜0，所以兩個根一個為x₁＜0，一個為x₂＞0，且在x₁處取得極大值，x₂處取得極小值．
在又f（0）=1，所以該函數的極大值必大于1，函數的極小值必小于1，即②③正確．
④因為極小值不確定，所以當極小值小于0時，函數有三個不同的零點，當極小值等于0時，函數有兩個不同的零點，當極小值大于0時，函數只有一個零點，所以④不正確．
所以正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題的考點是導數與函數極值之間的關系，以及函數與方程問題．考查數形結合的數學思想．