Question

設函數，記的導函數，的導函數
，
的導函數，…，的導函數，.
（1）求；
（2）用n表示；
（3）設，是否存在使最大？證明你的結論.

Answer 1

（1）（2）（3）故當或時，取
最大值.

試題分析：⑴易得,,                          
                                       
,所以                       
⑵不失一般性，設函數的導函數為
，其中，常數，.
對求導得：  
故由得：      ①，
 ②，            ③ 
由①得： ，                                      
代入②得：，即，其中
故得：.                                        
代入③得：，即，其中.
故得：，                                
因此.
將代入得：，其中.                
（3）由（1）知，
當時，，
，故當最大時，為奇數.                 
當時，                  
又，
，
，因此數列是遞減數列                
又，，                     
故當或時，取最大值.      
點評：本題是數列綜合題，利用轉化法把非常規數列轉化成等差或等比數列來處理是關鍵，
屬難題.