Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為的中點，為的中點，為的中點，，，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）先結合線面平行的判定定理，證得平面和平面，再利用面面平行的判定定理，即可證得平面平面；

（2）以為坐標原點，向量，，方向分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量和，利用向量的夾角公式，即可求解.

（1）在中，因為，，可得，

在中，因為，，可得，

因為平面，平面，所以平面，

又因為平面，平面，所以平面，

因為，平面，平面，

所以平面平面.

（2）如圖所示，連，由，，則，

在中，，可得，，

因為平面，可得，，兩兩垂直，以為坐標原點，向量，，方向分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，，，，，.

所以，，，

設平面的法向量為，則，

取，，，可得平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，則，

取，，，有可得平面的一個法向量為，

又由，，，可得，

故二面角的余弦值為.