Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點為，，橢圓上一動點到，距離之和為4，當到軸上的射影恰為時，，左、右頂點分別為，，為坐標原點，經過點的直線與橢圓交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）記與的面積分別為，，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為： （2）的最大值為

【解析】

（1）先根據橢圓的定義得，再由到軸上的射影恰為時，得關于的方程，最后結合橢圓中，解方程組即可求解.

（2）根據題意設直線的方程為：，與橢圓方程聯立，得到兩根和、兩根積，再將整理為韋達定理的形式，代入化簡即可求解.

解：（1）由題意知：，所以 ①，

又，且，

所以 ②，

又③，

由①②③得：，

所以橢圓的方程為：.

（2）由題意直線過點，且斜率不為0，

所以設直線的方程為：，

聯立

得：，

設點，

則，

因為，，

所以，

又，

所以，

當且僅當時，等號成立，

所以的最大值為.