Question

已知動點P到點A(－2,0)與點B(2,0)的斜率之積為－，點P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；
(2)若點Q為曲線C上的一點，直線AQ，BQ與直線x＝4分別交于M，N兩點，直線BM與橢圓的交點為D.求證，A，D，N三點共線．

Answer 1

（1）＋y²＝1(x≠±2)．（2）見解析

(1)解　設P點坐標(x，y)，則k_AP＝ (x≠－2)，k_BP＝ (x≠2)，由已知·＝－，化簡，得＋y²＝1，所求曲線C的方程為＋y²＝1(x≠±2)．
(2)證明　由已知直線AQ的斜率存在，且不等于0，設方程為y＝k(x＋2)，
由消去y，得(1＋4k²)x²＋16k²x＋16k²－4＝0，①
因為－2，x_Q是方程①的兩個根，所以－2x_Q＝，得x_Q＝，又y_Q＝k(x_Q＋2)＝k＝，所以Q.
當x＝4，得y_M＝6k，即M(4,6k)．
又直線BQ的斜率為－，方程為y＝－ (x－2)，當x＝4時，得y_N＝－，即N.直線BM的斜率為3k，方程為y＝3k(x－2)．
由消去y得：
(1＋36k²)x²－144k²x＋144k²－4＝0，②
因為2，x_D是方程②的兩個根，
所以2·x_D＝，
得x_D＝，又y_D＝3k(x_D－2)＝－，
即D，
由上述計算：A(－2,0)，
D，N.
因為k_AD＝－，k_AN＝－，所以k_AD＝k_AN.
所以A，D，N三點共線．