Question

【題目】已知點F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點，在橢圓上，PF1⊥x軸.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值為

【解析】

（1）由PF1⊥x軸可得c＝1，即可得橢圓的左右焦點的坐標，由橢圓的定義求出a的值，由a，b，c的關系求出a，b的值，進而求出橢圓的方程；

（2）將直線l與橢圓的方程聯立求出兩根之積，由OA⊥OB，可得0，可得k，m的關系，求出原點到直線的距離的表達式，可得為定值.

（1）令焦距為2，依題意可得F1（﹣1，0），右焦點F2（1，0），

，所以，

所以橢圓方程為；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），

由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，

.

所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2kmm2，

由，

得3m2＝2（k2+1），

所以原點O到直線l的距離為，為定值.