Question

（2008•盧灣區二模）（文）已知銳角三角形ABC的三邊為連續整數，且角A、B滿足A=2B．
（1）當

π

5

＜B＜

π

4

時，求△ABC的三邊長及角B（用反三角函數值表示）；
（2）求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）根據三角形三邊長為連續的正整數，設中間的邊長為n，表示出前一個和后一個邊長，由A=2B，利用內角和定理表示出C，把A=2B代入可用B表示出C，由B的范圍，得到A的范圍，可得到C的范圍，進而得到三個角的大小關系，根據大角對大邊可得n+1為角A的對邊，n-1為B的對邊，利用正弦定理列出關系式，把A=2B代入并利用二倍角的正弦函數公式化簡，可表示出cosB，再利用余弦定理表示出cosB，兩者相等列出關于n的方程，求出方程的解即可得到n的值，進而求出cosB的值，由B為銳角，利用反函數定義即可表示出B；
（2）由（1）求出cosB的值及B為銳角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，再由a與c的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形的面積．

解答：解：（1）設△ABC的三邊為n-1，n，n+1（n≥3，n∈N），
由題設A=2B得：C=π-A-B=π-3B，
由題意

π

5

＜B＜

π

4

，得

2π

5

＜A＜

π

2

，
可得

π

4

＜C＜

2π

5

，
從而A＞C＞B，得角B所對的邊為n-1，角A所對的邊為n+1，（4分）
故有

n-1

sinB

=

n+1

sin2B

，
得cosB=

n+1

2(n-1)

，又cosB=

n2+(n+1)2-(n-1)2

2n(n+1)

，
得

n+1

2(n-1)

=

n2+(n+1)2-(n-1)2

2n(n+1)

，
解得n=5，
故△ABC的三邊長為4，5，6，（7分）
得cosB=

3

4

，從而B=arccos

3

4

；（10分）
（2）由B=arccos

3

4

，得到cosB=

3

4

，又B為銳角，
∴sinB=

7

4

，又a=6，c=5，
則S=

1

2

acsinB=

15 7

4

．（14分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．