Question

【題目】設A、B為拋物線C：上兩點，A與B的中點的橫坐標為2，直線AB的斜率為1．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）直線 交x軸于點M，交拋物線C：于點P，M關于點P的對稱點為N，連結ON并延長交C于點H．除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（Ⅰ）設 ，直線的斜率為1，又因為都在曲線上 ， ,結合利用點差法可得p = 2，從而可得結果；（Ⅱ）求得點的坐標分別為，，， 從而可得直線的方程為，聯立方程解得點的坐標為，可得直線的方程為，聯立方程，整理得，由，可得結論．

（Ⅰ）設 ，AB 直線的斜率為1，又因為A，B都在曲線C上，

所以 ① ②

-得,

由已知條件得，得p = 2，所以拋物線C的方程是．

（Ⅱ）由題意，可知點的坐標分別為，，，

從而可得直線的方程為，聯立方程，

解得． 依題意，點的坐標為，由于，，可得直線的方程為，

聯立方程，整理得，

則，從而可知和只有一個公共點．