Question

【題目】已知函數f（x）＝|x﹣a|+2a，且不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}．

（1）求實數a的值．

（2）若存在實數x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝1（2）（﹣∞，]∪[1，+∞）

【解析】

（1）解不等式f（x）≤4，根據其解集，得到的值；（2）將所求不等式轉化為5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min，得到f（x）+f（﹣x）的最小值，從而得到關于的不等式，解出的取值范圍.

（1）由f（x）＝|x﹣a|+2a≤4，得2a﹣4≤x﹣a≤﹣2a+4，

∴3a﹣4≤x≤﹣a+4，

∵不等式f（x）≤4的解集為{x|﹣1≤x≤3}，

∴，∴a＝1；

（2）由（1）知f（x）＝|x﹣1|+2，

∵存在實數x0，使f（x0）≤5m2+m﹣f（﹣x0）成立，

∴只需5m2+m≥[f（x）+f（﹣x）]min

∵f（x）+f（﹣x）＝|x﹣1|+|x+1|+4≥|（x﹣1）﹣（x+1）|+4＝6，

當且僅當（x﹣1）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤1時取等號，

∴5m2+m≥6，

∴或m≥1，

∴m的取值范圍為（﹣∞，]∪[1，+∞）．