Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）
（1）a=3時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≤2x2恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）求證；lnn＞ + +1 +…+ （n∈N+）且n≥2．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=3時，f（x）=lnx+x2﹣3x，（x＞0），

f′（x）= +2x﹣3= ，

△=32﹣8=1＞0，由f′（x）=0，解得x1= ，x2=1，

當x∈（0， ）∪（1，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（ ）時，f′（x）＜0，

則函數f（x）在（0， ），（1，+∞）上單調遞增，在（ ，1）上單調遞減

（2）解：f（x）≤2x2，化為：lnx﹣x2﹣ax≤0，

∴a≥ ﹣x，令g（x）= ，

g′（x）= ，

令h（x）=1﹣lnx﹣x2，可知：函數h（x）在（0，+∞）上單調遞減．

而h（1）=0=g′（1）．

∴x＞1時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；

0＜x＜1時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增．

∴函數g（x）在x=1時取得極大值即最大值，g（1）=﹣1．

∴實數a的取值范圍是a≥﹣1

（3）證明：令t（x）=lnx﹣ ，

則t′（x）= ＞0，

∴t（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當x＞1時，t（x）＞t（1），即lnx﹣ ＞0，∴lnx＞ ，

令x=1+ ，則ln（1+ ）＞ ，

故ln（1+1）＞ ，ln（1+ ）＞ ，…，ln（1+ ）＞ ．

累加得：ln（n+1）＞ ，

取n=n﹣1，得lnn＞ （n≥2）

【解析】（1）把a=3代入函數解析式，求導后求得導函數零點，由導函數零點對定義域分段，求出各區間段內導函數的符號，從而求得原函數的單調區間；（2）把f（x）≤2x2化為：lnx﹣x2﹣ax≤0，得到a≥ ﹣x，令g（x）= ，利用導數求其最大值可得實數a的取值范圍；（3）令t（x）=lnx﹣ ，由導數可得t（x）在（0，+∞）上單調遞增，得到x＞1時，lnx＞ ，令x=1+ ，可得ln（1+ ）＞ ，累加可得ln（n+1）＞ ，取n=n﹣1得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．