Question

如圖2-5,S是正方形ABCD所在平面外一點,且SA=SB=SC=SD,點P在SC上,滿足SP∶PC=1∶2,又點M與N分別在SB和SD上,且BM=DN,求當MN∶BD的值為多少時,SA∥平面PMN？

圖2-5

Answer 1

連結AC、BD,設AC與BD交于點O,連SO,并設SO∩MN=F,連PF并延長PF使PF∩AC=E.

圖2-6
∵SA∥平面PMN,面SAC∩面PMN=PE,
∴SA∥PE.
∴△SCA中,=.
∴=.
∴=2.
∴=2.
又∵BM=DN,SD=SB,
∴MN∥BD.
∴.
所以當MN∶BD=2∶3時,SA∥平面PMN.

選取截面SAC來研究問題.欲求當MN∶BD的值為多少時,SA∥平面PMN,這個問題可轉化為求當SA∥平面PMN時,MN∶BD的值為多少.若SA∥平面PMN(線面平行),則先找線線平行的關系,有SA平行于平面PMN與面SAC的交線PE.