Question

已知函數f(x)=5-4sin2(

π

4

+x)+2

3

cos2x，且給定條件p：x＜

π

4

或x＞

π

2

．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；     
（2）在￢p的條件下，求f（x）的值域；
（3）若條件q：-2＜f（x）-m＜2，且￢p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把給出的函數先降冪再化積，然后運用復合函數的單調性求減區間；
（2）根據給出的條件p得到￢p：

π

4

≤x≤

π

2

，代入函數解析式后求值域；
（3）把條件q整理后得到f（x）的范圍，由￢p是q的充分條件，說明（2）中求出的函數值域是條件q得到的f（x）的范圍的子集，比較區間端點值可得m的范圍．

解答：解：（1）f（x）=5-4sin2(

π

4

+x)+2

3

cos2x=5-2[1-cos(

π

2

+2x)]+2

3

cos2x
=-2sin2x+2

3

cos2x+3=-2(sin2x-

3

cos2x)+3=-4sin(2x-

π

3

)+3
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π(k∈Z)．
所以原函數的單調減區間為{x|kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5

12

π，k∈Z}；
（2）由于給定條件p：x＜

π

4

或x＞

π

2

．
則￢p：

π

4

≤x≤

π

2

，所以

π

6

≤2x-

π

3

≤

2

3

π，所以-1≤-4sin(2x-

π

3

)+3≤2．
所以函數f（x）的值域為[-1，2]；
（3）由-2＜f（x）-m＜2，即m-2＜f（x）＜m+2，
又￢p是q的充分條件，即當-1≤f（x）≤2時，必有m-2＜f（x）＜m+2，
所以

m-2＜-1 m+2＞2

，解得：0＜m＜1．
所以實數m的取值范圍是（0，1）．

點評：本題考查了復合命題的真假，考查了三角函數中的恒等變換的應用，本題考查了數學轉化思想，解答（3）的關鍵是把充分條件問題轉化為集合間的關系求解，此題為中檔題．