Question

（2010•崇明縣二模）已知函數(shù)f(x)=5-

6

x

，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁=a，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）若對(duì)于n∈N^*，都有a_n+1=a_n成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若對(duì)于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b1=

3

2

，bn+1=

6

5-bn

．求證：當(dāng)a為數(shù)列{b_n}中的任意一項(xiàng)時(shí)，數(shù)列{a_n}必有相應(yīng)一項(xiàng)的值為1．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=a_n=a，可得方程，進(jìn)而可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）由于對(duì)于n∈N^*，都有a_n+1＞a_n成立，故可建立不等式，從而有a_n＜0或2＜a_n＜3，再作分類(lèi)討論即可．
（3）由于數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b1=

3

2

，bn+1=

6

5-bn

．所以：bn=5-

6

bn+1

，不妨設(shè)b_k=a，不斷使用條件可證．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n=a，得：a=

5a-6

a

所以a=2或a=3（檢驗(yàn)符合題意）
（2）由a_n+1＞a_n得，

5an-6

an

＞an；
所以a_n＜0或2＜a_n＜3．
ⅰ）當(dāng)a₁＜0時(shí)，a2=5-

6

a1

＞5；a3-a2=

(a2-3)(a2-2)

a2

＜0，不滿(mǎn)足條件；
ⅱ）當(dāng)2＜a₁＜3時(shí)，a2=5-

6

a1

∈(2，3)
同理a₃∈（2，3），…a_n∈（2，3），
an+1-an=-

(an-3)(an-2)

an

＞0
所以a_n+1＞a_n成立，滿(mǎn)足題意．
綜上，a∈（2，3）
（3）由于數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b1=

3

2

，bn+1=

6

5-bn

．
所以：bn=5-

6

bn+1

，不妨設(shè)b_k=a，
a₂=b_k-1，
a₃=b_k-2；
…
ak= 5-

6

ak-1

=b1=

3

2

；
ak+1=5-

6

b1

=1．
所以結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與函數(shù)的綜合．主要考查利用數(shù)列知識(shí)解決不等式問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有一定的難度．