Question

【題目】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)M與A、不重合），則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）

①存在點(diǎn)M，使得平面平面；

②存在點(diǎn)M，使得平面；

③若的面積為S，則；

④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)M，使得.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

平面與平面為同一平面,證明平面即可判斷①；由證明平面平面判斷②；連接交于點(diǎn)O,當(dāng)時(shí)可得,利用相似可得,進(jìn)而求得的最小面積,即可判斷③；分別判斷點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,、的范圍,進(jìn)而判斷④.

連接,,

設(shè)平面與對(duì)角線交于M,由,可得平面,即平面,所以存在點(diǎn)M,使得平面平面,所以①正確；

連接,,

由,,利用平面與平面平行的判定,可證得平面平面,設(shè)平面與交于M,可得平面,所以②正確；

連接交于點(diǎn)O,過(guò)O點(diǎn)作,

在正方體中,平面,所以,所以OM為異面直線與的公垂線,根據(jù),所以,即,

所以的最小面積為,

所以若的面積為S,則,所以③不正確；

在點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,從1減少趨向于0,即,從0增大到趨向于2,即,在此過(guò)程中,必存在某個(gè)點(diǎn)使得,所以④是正確的,

綜上可得①②④是正確的,

故選:C