Question

【題目】設點為圓上的動點，點在軸上的投影為，動點滿足，動點的軌跡為.

(1)求的方程；

(2)設與軸正半軸的交點為，過點的直線的斜率為，與交于另一點為.若以點為圓心，以線段長為半徑的圓與有4個公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】試題分析：（1）利用相關點法求出的方程；（2）由得，設，，，則點的軌跡方程為，

由，得，()(*)依題意得，(*)式關于的方程在有兩個不同的實數解，利用二次函數有關知識即可求出的取值范圍.

試題解析：

(1)設點，，則，

因為，所以，所以，解得，

由于點在圓上，所以，

所以點的軌跡的方程為.

(2)由(1)知，的方程為，因為直線.

由得，

設，，因此，，

，

則點的軌跡方程為，

由，得，()(*)

依題意得，(*)式關于的方程在有兩個不同的實數解，

設，

因為函數的對稱軸為，

要使函數的圖象在與軸有兩個不同的交點，

則，

整理得：，即，

所以.

解得，

所以的取值范圍為