Question

（本小題滿分13分）已知函數，．
（Ⅰ）設（其中是的導函數），求的最大值；
（Ⅱ）求證: 當時，有；
（Ⅲ）設,當時,不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）當時，取得最大值；
（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．
因此，有．
（Ⅲ）整數的最大值是. 

試題分析：（Ⅰ）,所以 ．
當時，；當時，．
因此，在上單調遞增，在上單調遞減．
因此，當時，取得最大值；           ………………3分
（Ⅱ）當時，．由（1）知：當時，，即．
因此，有．………………7分
（Ⅲ）不等式化為所以
對任意恒成立．令，則，
令，則，所以函數在上單調遞增．
因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．
所以．故整數的最大值是.     ……………13分
點評：較難題，利用導數求函數單調區間的方法，解題時注意函數的定義域，避免出錯。