Question

已知橢圓長軸上有一頂點到兩個焦點之間的距離分別為：3＋2，3－2.
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線 與橢圓相交于A,B，若C（－3,0），D(3,0），證明：直線CA與直線BD的交點K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點Q(1,0 )作直線l (與x軸不垂直）與橢圓交于M,N兩點，與y軸交于點R，若，求證：為定值.

Answer 1

（1）       （2）直線CA與直線BD的交點K必在雙曲線上.  （3）    

(1)由題意可知a+c,和a-c,所以可求出a,c的值,進而求出b的值.
(2)依題意可設，且有，然后求出CA、DB的方程,解出它們的交點再證明交點坐標是否滿足雙曲線的方程即可.
(3) 設直線的方程為，再設、、，然后直線方程與橢圓C的方程聯立，根據，可找到,,同理,則,然后再利用韋達定理證明
（1）由已知，得，，
所以橢圓方程為       4分
（2）依題意可設，且有，
又，，，
將代入即得
所以直線CA與直線BD的交點K必在雙曲線上.       9分
（3）依題意，直線的斜率存在，則設直線的方程為，
設，則兩點坐標滿足方程組，
消去整理得，所以，① 因為，所以，
即，因為l與x軸不垂直，所以，則，
又，同理可得，所以
由①式代人上式得