Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂.過F₁的直線交橢圓于B、D兩點，過F₂的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P.
（Ⅰ）設P點的坐標為，證明：；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）四邊形ABCD的面積的最小值為

證明：
（Ⅰ）橢圓的半焦距.

由AC⊥BD知點P在以線段F₁F₂為直徑的圓上，
故 ，
所以， 
（Ⅱ）（i）當BD的斜率k存在且k≠0時，BD的方程為代入橢圓方程
，并化簡得  
設，則


因為AC與BD相交于點P，且AC的斜率為 ，
所以， 
四邊形ABCD的面積

當k²=1時，上式取等號。
（ii）當BD的斜率k=0或斜率不存在時，四邊形ABCD的面積S=4.
綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為